Тени разума. В поисках науки о сознании - Пенроуз Роджер. Страница 102

Где же начинаетсяквантовый уровень? Надо думать, квантовым называется уровень тех физических объектов, которые «достаточно малы» — например, молекулы, атомы, элементарные частицы. Впрочем, на физические расстояния это требование «малости» распространяется далеко не всегда. Эффекты квантового уровня могут возникать и на огромном удалении. Вспомним о четырех световых годах, разделяющих два додекаэдра в моей истории в §5.3, или о двенадцати метрах, разделяющих фотоны во вполне реальном эксперименте Аспекта ( §5.4). Иначе говоря, квантовый уровень определяется не малым физическим размером, но чем-то более тонким, причем на данном этапе этой «формулировкой» лучше и ограничиться. Можно также приблизительно считать квантовым уровень, где мы рассматриваем очень малые изменения в энергии. Более подробно мы обсудим этот вопрос в §6.12.

Классическим же мы называем уровень, который мы, как правило, воспринимаем непосредственно. Здесь действуют законы классической физики, оперирующие вещественными числами, здесь имеют смысл самые обычные описания — например, те, что задают положение, скорость движения и форму футбольного мяча. Существует ли какая-либо реальная физическая граница между квантовым уровнем и уровнем классическим? Вопрос этот, как я только что отметил, очень глубок и тесно связан с трактовкой X-загадок, или квантовых парадоксов (см. §5.1). Поиск ответа мы отложим до лучших времен, а пока, просто из соображений удобства, будем рассматривать квантовый уровень отдельно от классического.

Какую фундаментальную роль играют комплексные числа на квантовом уровне? Возьмем для примера отдельную частицу — скажем, электрон. В классической картине мира электрон может занимать либо положение A, либо какое-нибудь другое положение B. Однако в квантовомеханическом описании перед тем же электроном открываются гораздо более широкие возможности. Он не только может занимать то или иное из указанных положений, он может находиться и в любом из ряда возможных состояний, занимая при этом (в некотором строгом смысле) оба положения одновременно! Обозначим через | A〉 состояние, в котором электрон занимает положение A, а через | B〉 — состояние, в котором электрон занимает положение B. [36]Тогда, согласно квантовой теории, электрону доступны следующие возможные состояния:

причем фигурирующие здесь весовые коэффициенты  wи z представлены комплексными числами(и по крайней мере одно из них должно быть отлично от нуля).

Что это означает? Если бы весовые коэффициенты были неотрицательными вещественнымичислами, то можно было предположить, что записанная комбинация представляет собой, в некотором смысле, взвешенное вероятностное ожидание положения электрона, где  wи zсимволизируют относительные вероятности нахождения электрона в положении, соответственно,  Aи B. Тогда отношение  w: zдаст отношение вероятности нахождения электрона в точке  Aк вероятности нахождения электрона в точке B. Таким образом, если этими двумя и исчерпываются доступные электрону положения, то мы получаем ожидание w/( w+ z) для электрона в точке  Aи ожидание z/( w+ z) для электрона в точке B. При  w= 0 электрон определенно находится в точке B; при z= 0 ищите его в точке A, больше ему деться некуда. Если состояние электрона записывается как | A〉 + | B〉, это означает, что электрон может с равной вероятностью оказаться как в положении A, так и в положении B.

Однако числа  wи z — комплексные, так что вышеприведенная интерпретация не имеет никакого смысла. Отношения квантовых весовых коэффициентов wи z не являютсяотношениями вероятностей. Это невозможно хотя бы потому, что вероятности всегда выражаются вещественнымичислами. Несмотря на широко распространенное мнение о вероятностной природе квантового мира, на квантовом уровне недействует карданова теория вероятностей. А вот его таинственная теория комплексных чиселпришлась здесь как нельзя более кстати — именно она лежит в основе математически точного и абсолютно  безвероятностногоописания процессов, протекающих на квантовом уровне.

Пользуясь привычным и понятным языком, невозможно объяснить, что «означает» фраза «в данный момент времени электрон находится в состоянии суперпозиции двух положений с комплексными весовыми коэффициентами wи z». На настоящем этапе нам придется просто принять все это как должное; именно такими описаниями мы и вынуждены довольствоваться при рассмотрении квантовых систем. Такие суперпозиции, как сообщают естествоиспытатели, играют важную роль в действительной конструкции нашего микромира. Квантовый мир на самом делеведет себя именно таким необычным и непостижимым образом, а нам повезло набрести на этот простой факт. А от фактов никуда не уйти — имеющиеся в нашем распоряжении описания, в соответствии с которыми эволюционирует микромир, действительно являются не только математически точными, но и, более того, целиком и полностью детерминированными!

5.7. Унитарная эволюция U

Таким детерминированным описанием является, например, унитарная эволюция(обозначим ее буквой U). Эта эволюция описывается точными математическими уравнениями, однако нам не так уж важно знать, как именно эти уравнения выглядят. Нам понадобятся лишь некоторые из свойств эволюции U. В так называемом «шрёдингеровом представлении» Uзадается уравнением Шрёдингера, которое характеризует скорость изменения квантового состояния(или волновой функции) во времени. Это квантовое состояние (обычно обозначаемое греческой буквой ψ, или так: | ψ〉) представляет собой полную взвешенную сумму (с комплексными весовыми коэффициентами) всех возможных альтернатив, доступных данной квантовой системе. Таким образом, для приведенного выше примера с двумя альтернативными положениями электрона квантовое состояние \гр) записывается в виде следующей комбинации комплексных чисел:

где wи z— комплексные числа (причем хотя бы одно из них не равно нулю). Комбинацию w| A〉 + z| B〉 мы называем линейной суперпозициейсостояний | A〉 и | B〉. Величина | ψ〉 (равно как и | A〉 или | B〉) часто называется вектором состояния. Квантовые состояния (или векторы состояния) могут записываться и в более общем виде — например, так:

где u, v, …, z— комплексные числа (причем хотя бы одно из них не равно нулю), а | A〉, | B〉, …, | F〉 символизируют различные возможные положения, которые может занимать частица (или какое-либо иное возможное свойство частицы — например, ее спиновое состояние; см. §5.10). Обобщая далее, можно допустить выражение волновой функции или вектора состояния в виде бесконечнойсуммы (поскольку число положений, которые может занимать точечная частица, бесконечно велико); впрочем, подобные случаи нас пока не занимают.

Здесь необходимоупомянуть об одной технической особенности квантового формализма. Дело в том, что значимыми являются только отношениякомплексных весовых факторов. Подробнее об этом я расскажу позднее. А пока мы просто отметим, что для любого отдельно взятого вектора состояния | ψ〉 верно следующее: любое комплексное кратное u| ψ〉 (где  u ≠ 0) описывает то же самое физическоесостояние, что и | ψ〉. Таким образом, например, физические состояния uw| A〉 + uz| B〉 и w| A〉 + z| A〉 совершенно идентичны. Соответственно, физический смысл имеет отношение w: z, но не отдельные числа w и z.