Вначале была аксиома. Гильберт. Основания математики - Коллектив авторов. Страница 10
«...ибо мы слышим внутри себя постоянный призыв: вот проблема, ищи решение. Ты можешь найти его с помощью чистого мышления, ибо в математике не существует ignorabimus».
К сожалению, оказалось, что это не так. Как известно, эта идея в 30-е годы получила сильный удар.
ВЫЗОВ ГИЛЬБЕРТА
Гильберт предложил 23 математические проблемы, но ввиду временных ограничений в своей лекции он упомянул только десять из них. Однако он предоставил присутствующим печатный вариант лекции, который сразу же был растиражирован в Германии и Франции. Разберем эти 23 проблемы (наиболее простые и понятные будут рассмотрены подробно).
Проблемы можно сгруппировать в несколько блоков в зависимости от предмета, к которому они относятся: основания математики (проблемы 1, 2, 3, 4 и 5) и математической физики (проблема 6), теория чисел (проблемы 7, 8, 9, 10 и 11), алгебра (12, 13, 14 и 17), геометрия (15, 16, и 18) и анализ (19, 20, 21, 22 и 23). Основания математики, геометрия и алгебра с различных углов зрения, теория чисел и анализ представлены в списке наряду с другими вопросами спорной классификации.
В первом блоке приведены проблемы оснований математики и физики.
1. Проблема континуума (см. главу 4). Доказать истинность или ложность знаменитой континуум-гипотезы Кантора: не существует подмножества на числовой прямой, кардинальное число которого (то есть его размер) находилось бы строго между кардинальном числом рациональных чисел и кардинальным числом действительных чисел. Поставив этот вопрос как первую математическую проблему будущего, Гильберт занял позицию абстрактной теории множеств в пику ее многочисленным врагам.
2. Проблема непротиворечивости аксиом арифметики. Этот вопрос был крайне важен, поскольку положительный ответ косвенно доказал бы непротиворечивость всей математики. В «Основаниях геометрии» Гильберт оставил эту проблему, но в 1920-е годы вернулся к ней уже как исследователь. К сожалению, в 1931 году австрийский логик Курт Гёдель доказал, что формально эта проблема неразрешима. Невозможно доказать непротиворечивость аксиом арифметики.
3. Равенство объема двух тетраэдров одинакового основания и высоты. В своей книге Гильберт озаботился определением понятия площади в плоскостной геометрии без использования анализа бесконечно малых (интегралов) и достиг успеха, охарактеризовав многоугольники одинаковой площади как равносоставленные (то есть состоящие из одного и того же числа одинаковых треугольников). Удастся ли сделать то же самое с понятием объема в пространственной геометрии? Удастся ли охарактеризовать многогранники одинакового объема как многогранники, которые могут быть разложены на одно и то же число равных тетраэдров? В 1902 году Макс Ден (1878-1952) ответил на эти вопросы отрицательно: существует два тетраэдра с одинаковым основанием и высотой (а значит, с одинаковым объемом), которые, однако, не являются равносоставленными. Невозможно разделить первый на конечное количество многогранных частей так, чтобы они могли быть собраны для получения второго. В то время как в двух измерениях было возможно определить площадь, не применяя анализ, в трех измерениях сложный процесс перехода к пределу, известный как чертова лестница, оказывался неизбежным и мешал определить понятие объема, не прибегая к анализу.
4. Проблема отрезка прямой как кратчайшего расстояния между двумя точками. Гильберт предлагает продолжить исследование различных возможных аксиоматических геометрий с учетом того, к какой группе аксиом может привести результат, позволяющий сделать вывод, что в любом треугольнике сумма двух его сторон всегда больше третьей, а следовательно, отрезок прямой — это кратчайший путь между двумя точками. Хотя эта проблема сформулирована слишком расплывчато, она стала более точной в области геометрии Римана, когда требуется построить все возможные расстояния так, чтобы обычные прямые линии оказались геодезическими (кратчайшими путями).
Математический клуб Гёттингена, 1902 год. В центре Клейн, основатель клуба, справа от него Г ильберт.
Математик Герман Минковский в молодости. С Гильбертом их связывала крепкая дружба до самой смерти Минковского в 1909 году.
Гильберт и Кёте Ерош, на которой он женился в 1892 году.
5. Анализ понятия, введенного Софусом Ли (1842-1899) в отношении группы трансформаций, за исключением гипотезы о дифференцируемости функций, входящих в состав группы.
6. Математический подход к аксиомам физики. Гильберт был заинтересован в аксиоматизации различных областей физики (в особенности механики и вычисления вероятностей, которое в то время набирало силу как инструмент термодинамики), чтобы определить им формат, наподобие геометрии, ведь ее он считал практически эмпирической наукой. В решении этой проблемы уже наметился сдвиг благодаря физикам Эрнсту Маху (1838-1916) и Генриху Герцу, но математики ею еще не занимались. Программа аксиоматизации физики добилась (как станет ясно в следующей главе) определенных побед в первые десятилетия XX века.
В рамках блока теории чисел Гильберт выделил пять проблем.
7. Иррациональность и трансцендентность некоторых чисел. Трансцендентное число — это тип иррационального числа, которое не является корнем из какого-либо многочлена с целыми коэффициентами. В противоположность ему алгебраическое число — это любое число, являющееся решением полиномиального уравнения с целыми коэффициентами. Поскольку было известно не так уж много трансцендентных чисел (кроме π и e), Гильберт сформулировал конкретный вопрос: если a — это алгебраическое число (отличное от 0 и 1), а b — иррациональное алгебраическое число, является ли аь трансцендентным? Для Гильберта это было одной из самых сложных проблем в списке. Однако в 1934 году Александр Гельфонд (1906-1968) и Теодор Шнайдер (1911— 1988) доказали, что это так. В частности, √2√2 является трансцендентным.
8. Изучение простых чисел. Здесь Гильберт поставил ряд вопросов, связанных с распределением простых чисел. Главный вопрос — без сомнения, знаменитая гипотеза Римана, в которой предполагалось, что некоторая функция, связанная с этими числами и называемая дзета- функцией Римана ζ(z), имеет все свои нули на прямой Re(z) = ½ комплексной плоскости, то есть все ее нули — комплексные числа с действительной частью, равной ½. На сегодняшний день она все еще не доказана, хотя с помощью компьютера было проверено, что первые 1,5 триллиона нулей выполняют эту гипотезу. Гильберт также упомянул гипотезу Гольдбаха (согласно которой любое четное число может быть выражено в виде суммы двух простых чисел), существование бесконечного числа простых чисел-близнецов (то есть простых чисел, разность между которыми равна 2) и так далее.
9. Доказательство наиболее общего закона взаимности в любом числовом поле.
10. Определение разрешимости диофантовых уравнений.
11. Исследование квадратичных форм с произвольными алгебраическими коэффициентами.
В блоке алгебры — следующие проблемы.
12. Распространение теоремы Кронекера об абелевых полях на произвольную алгебраическую область рациональности.
13. Невозможность решения общего уравнения седьмой степени с помощью функций, зависящих только от двух переменных.
14. Доказательство конечности некоторых полных систем функций.
17. Представление определенных форм в виде сумм квадратов.
В блоке геометрии...
15. Строгое обоснование исчислительной геометрии Германа Шуберта (1848-1911).
ДЕСЯТАЯ ПРОБЛЕМА ГИЛЬБЕРТА