Вначале была аксиома. Гильберт. Основания математики - Коллектив авторов. Страница 12

Проблема

Описание

Состояние

Решение квадратичных форм с алгебраическими числовыми коэффициентами

Частично решена Хельмутом Хассе (1923) и Карлом Зигелем (1930)

Распространение теоремы Кронекера

Не решена

Решение общего уравнения седьмой степени с помощью функций, зависящих только от двух переменных

Отрицательно решена Арнольдом и Колмогоровым (1957)

Доказательство конечности некоторых полных систем функций

Отрицательно решена через контрпример Масаеси Нагатой (1959)

Строгое обоснование исчислительной геометрии Шуберта

Отрицательно решена Бартелем ван дер Варденом (1930)

Топология алгебраических кривых и поверхностей

Не решена

Представление определенных форм в виде квадратов

Решена положительно Эмилем Артином (1927) и Георгом Крайзелем (1957)

Гипотеза Кеплера

Решена Томасом Хейлсом (2005)

Всегда ли решения регулярных задач вариационного исчисления аналитические?

Утвердительно решена Сергеем Бернштейном (1904)

Всели задачи вариационного исчисления с определенными граничными условиями имеют решение?

Решена в течение XX века

Доказательство существования линейных дифференциальных уравнений с заданной группой монодромии

Отрицательно решена Дмитрием Аносовым и Андреем Болибрухом (1989)

Униформизация аналитических зависимостей с помощью автоморфных функций

Решена независимо Паулем Кёбе и Анри Пуанкаре (1907)

Развитие методов вариационного исчисления

Решена в течение XX века

18 ПРОБЛЕМ СМЕЙЛА И 7 ПРОБЛЕМ ТЫСЯЧЕЛЕТИЯ

В 1992 году Международный математический союз принял на себя инициативу связать лекцию Гильберта 1900 года с современным состоянием математики. Несмотря на огромные достижения математики XX века, дюжины примечательных проблем еще ждут своего решения. В 2000 году лауреат Филдсовской премии Стивен Смейл (р. 1930) составил список из 18 проблем, актуальных в XXI веке. Первые три — это гипотеза Римана, гипотеза Пуанкаре (знаменитый топологический вопрос, поставленный в 1904 году) и проблема Р = NP (любая ли проблема, решаемая в экспоненциальном неполиномиальном времени, имеет альтернативное решение в полиномиальном времени?). Одновременно институт Клея назначил семь премий в один миллион долларов для каждой из обозначенных проблем тысячелетия. Некоторые из них новые, другие — старые знакомые, уже более 100 лет ожидающие решения. Среди этих задач, естественно, три указанные выше проблемы, а также проблема существования решений уравнений Навье — Стокса (которые описывают движение флюидов). В 2002 году российский математик Григорий Перельман (р. 1966) доказал одну из них — гипотезу Пуанкаре.

УЧИТЕЛЬ И УЧЕНИКИ

Сегодня, спустя более чем 100 лет, можно констатировать хорошие результаты: больше половины проблем решены, хотя некоторые решены довольно неожиданно. Часть из них все еще остаются открытыми (это случай проблемы 8 — гипотезы Римана, «звезды» списка) или частично открытыми (случай проблем И, 12 и 16). Проблемы, которые Гильберт определил для нового века, не остались без внимания, они заворожили несколько поколений математиков, породив настоящий поток исследовательских статей. Решить проблему Гильберта — задача, достойная уважения, способствующая карьере. Математик, решивший одну из этих проблем, занимал «почетное положение в математическом сообществе», говоря словами Германа Вейля (1885-1955) из некролога Гильберту.

Это был случай свершившегося пророчества. Несмотря на то что присутствующих на лекции Гильберта было не так много (доподлинно неизвестно, был ли там Пуанкаре, к которому отсылали некоторые из этих проблем), она не вызвала оживленной дискуссии (за исключением столкновения с Пеано, напомнившего Гильберту о работах итальянских математиков в области второй проблемы), репутация их автора и стоявшего за ним Гёттингенского центра сделали свое дело. Математическими проблемами будущего стали именно те, которые Гильберт обозначил в своей программе, потому что этому способствовала его харизма. Однако предложения Пуанкаре также исполнились: например, развитие функционального анализа, который стольким обязан Гильберту, шло параллельно развитию квантовой механики. И когда сошла на нет тенденция к абстракции и аксиоматическим структурам, характерная для начала XX века, произошел скачок прикладной математики (исследование операций, теория хаоса и так далее), который был знаком уважения французскому математику.

Гильберт поставил свою метку на целую эпоху математики. Однако причина того, почему он вызывал восхищение у людей, не исчерпывалась его исследованиями. Гаусс и Риман, также из Гёттингена, были математиками более высокого уровня, чем Гильберт, но их влияние на современников было гораздо меньшим. Гильберт, как гамельнский крысолов, увлек многих математиков за собой в глубокую реку чистой математики. Успех проблем Гильберта в качестве исследовательской программы кроется в той ауре, которую он создал вокруг себя. Другими словами, оценить его влияние можно, только осознав, что он был не просто трудолюбивым преподавателем. Гильберт излучал заразительный энтузиазм, побуждал обмениваться научными идеями в ходе разговоров или долгих прогулок. Краеугольным камнем его математической деятельности было сочетание исследования и обучения. Отто Блюменталь (1876— 1944), первый из 69 учеников, которые написали докторскую диссертацию под его руководством, спустя 40 лет делился впечатлением, которое произвел на него прибывший в Гёттинген Гильберт:

«По сравнению с прочими преподавателями этот проворный мужчина с густой рыжей бородой и в повседневном костюме выглядел не слишком академично. Его лекции были очень лаконичными. Он читал их довольно скучно, но благодаря богатому содержанию и ясности представления о форме можно было забыть. Гильберт часто демонстрировал свои новые открытия, но всегда убеждался, что все следят за его мыслью. Он читал лекции для учеников, а не для самого себя».

ПОРТРЕТ ГИЛЬБЕРТА В ШЛЯПЕ

Эта фотография 1912 года стала частью собирательного образа математиков. Панама, глаза, сверкающие за стеклами очков, заостренная бородка. .. Но кое-что отсутствует на этом известнейшем портрете: обворожительность персонажа. Непреодолимая страсть к математике, о которой свидетельствует цветущая риторика его речей, и некоторая чудаковатость, свойственная ученым. Один из учеников рассказывал, как несколько дней Гильберт появлялся на людях в одних и тех же рваных брюках, отчего окружающим становилось неловко.

Указать ему на эту деликатную деталь было поручено его помощнику, Рихарду Куранту (1888-1972). Однажды вечером, воспользовавшись тем, что они проходят мимо колючих кустов, Курант сообщил Гильберту, что у него порвались брюки. «А! Нет, — ответил Гильберт, — они уже несколько недель в таком виде, но никто не обратил внимания». Более того, обычно разъезжая на велосипеде по улицам Гёттингена, этот математик никогда не уставал флиртовать. На одной из вечеринок по случаю дня рождения гости состязались в стихосложении, каждая строфа начиналась с первой буквы имени девушки, за которой ему доводилось ухаживать. Но когда веселая компания добралась до буквы К, никто не знал, что сказать. В этот момент Кёте, благоразумная и мудрая жена Гильберта, заметила: «Могли бы хоть раз подумать и обо мне».