Вначале была аксиома. Гильберт. Основания математики - Коллектив авторов. Страница 11

Это одна из значительных проблем, которая кажется простой, хотя это не так. Заключается она в поиске общего способа, позволившего бы выяснить, имеет ли диофантово уравнение целые решения или нет, без необходимости вычислять их. Диофантовы уравнения — это уравнения, в которых участвует только один многочлен с целыми коэффициентами и нужно найти все целые решения. Уравнения носят имя греческого математика Диофанта (III век), ими занимавшегося. В частности, знаменитое уравнение xⁿ+yⁿ=zⁿ последней теоремы Ферма — это диофантово уравнение (в 1995 году Эндрю Уайлсу (р. 1953) удалось доказать, что у этого уравнения нет целых решений, отличных от нуля, если п больше 2). Проблема оставалась открытой, пока в 1970 году теория чисел и математическая логика не объединились: советский математик Юрий Матиясевич (р. 1947), следуя идеям Мартина Дэвиса (р. 1928), Хилари Патнем (р. 1926) и Джулии Робинсон (1919-1985), смог доказать, что такого алгоритма не существует. Перенесшая операцию на сердце Джулия Робинсон на свой день рождения обычно загадывала желание: «Пусть кто-нибудь решит десятую проблему Гильберта. Я не успокоюсь, пока ответ не будет найден». Любопытно, что ее старшая сестра Констанс Рейд (1918-2010) написала лучшую биографию Давида Гильберта.

16. Исследование топологии алгебраических кривых и поверхностей, включая (как отсылку к работе Пуанкаре) изучение числа и формы предельных циклов, являющихся решениями некоторых дифференциальных уравнений.

Слева — замощение плоскости шестиугольниками. Справа — замощение пространства усеченными октаэдрами.

18. Построение пространства на основе конгруэнтных многогранников. Будучи одной из классических проблем математики, известная как проблема паркета или бордюра, она состоит в том, чтобы определить, сколькими различными способами можно целиком заполнить плоскость одинаковыми геометрическими фигурами. Гильберт расширил ее, рассмотрев возможность заполнения пространства конгруэнтными многогранниками (см. рисунок). Так что речь шла об обобщении уже произведенного исследования групп симметрии и замощений (многие из них представлены в мозаике архитектурного ансамбля Альгамбры) двумерной плоскости до случая трехмерного пространства. Промежуточные достижения в этой области пришлись на 1910 год и принадлежат Людвигу Бибербаху (1886-1982) — математику, который в итоге присоединился к нацистской партии и сместил Гильберта. Кроме того, в этот раздел Гильберт включил знаменитую гипотезу Кеплера: какое расположение шаров одного радиуса оставляет меньше всего свободного пространства? Решение Кеплера — расположить их подобно апельсинам в корзине, как совсем недавно продемонстрировал Томас Хейлс (р. 1958).

И наконец, в блоке, посвященном анализу, находились последние пять проблем.

19. Изучение аналитичности решения регулярных задач вариационного исчисления.

20. Изучение существования решений задач вариационного исчисления с определенными граничными условиями.

21. Доказательство существования линейных дифференциальных уравнений с заданной группой монодромии.

22. Униформизация аналитических зависимостей с помощью автоморфных функций (проблема, происхождение которой лежало в работах Клейна и Пуанкаре по данному вопросу).

23. Развитие методов вариационного исчисления. Гильберт значительно способствовал прогрессу в этой области анализа (которая была напрямую связана с проблемами 19 и 20, касающимися существования, единственности и свойств решений вариационного исчисления). Эта тема обладала чрезвычайной жизнеспособностью в XX веке, что говорит об отличном чутье Гильберта, закончившего список проблем общим вопросом из этой области.

В Париже, не имея достаточно времени, Гильберт успел обозначить только 10 из своих 23 проблем: континуум-гипотезу (проблема 1); непротиворечивость арифметики (2); аксиоматизацию физических теорий (6); некоторые проблемы теории чисел, включая гипотезу Римана (7 и 8); невозможность разрешения уравнения седьмой степени (13); вопрос о кривых и поверхностях, определенных полиномиальными уравнениями (16); аналитические решения регулярных проблем вариационного исчисления (19); существование обыкновенных дифференциальных уравнений, соответствующих заданным группам монодромии (21), и вопрос Пуанкаре о параметризации алгебраических кривых с помощью автоморфных функций (22).

Если бы я проснулся, проспав тысячу лет, то в первую очередь спросил бы: доказали ли гипотезу Римана?

Давид Гильберт

Не так давно историк математики Тиле Рюдигер в одной из тетрадей Гильберта обнаружил, что тот хотел добавить еще одну проблему (24), которую в итоге отверг. Проблема состояла в определении критерия простоты или доказательства максимальной простоты некоторых доказательств. Гильберт намеревался развить общую теорию о методах доказательства в математике. Как ни парадоксально, через несколько лет он сам основал (см. главу 5) теорию доказательств.

Однако в списке был ряд важных упущений: несколько путей, по которым он не пошел. Матричная алгебра, статистика, логика или прикладная математика, бурно развивавшиеся в конце века, наряду с зарождающимися топологией, теорией меры и функциональным анализом для Гильберта интереса не представляли. Точно так же проблема трех тел и последняя теорема Ферма были упомянуты, но не предложены в качестве открытых проблем математики будущего.

В следующей таблице показано современное состояние 23 проблем Гильберта.

Проблема

Описание

Состояние

1

Континуум - гипотеза

Курт Гёдель (1938) и Пол Коэн (1963) доказали ее неразрешимость как истинную или ложную на основе стандартного набора аксиом теории множеств

2

Непротиворечивость аксиом арифметики

Курт Гёдель (1931) доказал, что установление неп роти вореч и вости арифметики является формально неразрешимой проблемой

3

Определение понятия объема без применения анализа

Опровергнута Максом Деном (1902)

4

Перечисление всех метрик, прямые линии которых являются геодезическими

Положительно решена Алексеем Погореловым (1975)

5

Дифференцируются ли непрерывные группы автоматически?

Положительно решена Эндрю Глизоном (1952)

6

Математическое изложение аксиом физики

Частично решена:

— механика: Георг Гамель (1909);

— термодинамика: Константин Каратеодори (1909);

— специальная теория относительности: Альфред Робб (1914) и Константин Каратеодори (1923);

— квантовая механика: Джон фон Нейман (1932);

— теория вероятностей: Андрей Колмогоров (1933)

7

Является ли a

^b

трансцендентным, если a≠0,1 алгебраическое и b иррациональное алгебраическое?

Решена независимо Александром Гельфондом и Теодором Шнайдером (1934)

8

Гипотеза Римана и гипотеза Гольдбаха

Не решена

9

Доказательство наиболее общего закона взаимности в любом числовом поле

Решена Эмилем Артином (1923)

10

Найти универсальный алгоритм диофантовых уравнений

Отрицательно решена Матиясевичем (1970)